古典力学の最も基本的な部分は質点(大きさや内部自由度を無視できる物体)に対する力学です。 以下では、質点の運動方程式とその性質を見ていきます。
Newtonの運動方程式
さて、3次元空間の中で1個の質点が力を受けて運動しているとします。 質点の質量を $m\in\mathbb{R}$、時刻 $t\in\mathbb{R}$ における位置を $\boldsymbol{x}(t)\in\mathbb{R}$ 、力を $\boldsymbol{F}(t)\in\mathbb{R}^3$ とすると、Newtonの運動方程式は $$\begin{equation}m\ddot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{F}(t) \label{eom}\end{equation}$$ と書かれます。 ただし、上付きのドットは時間微分を表すものとします。 $\boldsymbol{F}(t)$ が既知のとき、 $\eqref{eom}$ は $\boldsymbol{x}(t)$ について2階の常微分方程式になり、これを（解析的にまたは数値的に）解くことで運動の様子を知ることができます。
運動方程式に従う質点の運動について、運動量と力学的エネルギーという重要な保存量が存在します。 以下で、これを見ていきましょう。
運動量
運動量を $\boldsymbol{p}(t)=m\dot{\boldsymbol{x}}(t)$ と定義します。 運動方程式 $\eqref{eom}$ を $t\in[t_0, t_1]$ で積分すると $$\begin{equation}m\boldsymbol{\dot{x}}(t_1)-m\boldsymbol{\dot{x}}(t_0) = \int_{t_0}^{t_1}\boldsymbol{F}(t) \mathrm{d}t\end{equation}$$ となりますが、ここで力積を $I=\int_{t_0}^{t_1}\boldsymbol{F}(t) \mathrm{d}t$ と置くと、 $$\begin{equation}\boldsymbol{p}(t_1)-\boldsymbol{p}(\boldsymbol{t_0})=I\end{equation}$$ と書けます。 すなわち、運動量の変化は力積に等しいという式が導かれます。 $\boldsymbol{F}(t)=0$ であれば、運動量は保存し、質点は等速直線運動を続けます。 しかし、運動量の概念が威力を発揮するのは、作用・反作用の法則を満たしながら、互いに力を及ぼし合う質点系の運動においてであり、一般に外力が働く系では運動量は保存しません。
力学的エネルギー
質点が受ける力が質点の位置の関数としてのみ時間に依存している、すなわち $\boldsymbol{F}(t)=\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(t))$ とします。 このような状況を、$\boldsymbol{F}$ は $t$ に陽に（あらわに）依存しないと呼びます。 このとき、 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ を力の場とみなして回転無し、すなわち $$\begin{equation}\nabla\times\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = 0\label{norot}\end{equation}$$ ならば、力学的エネルギーと呼ばれる保存量が存在します。
まず、力の ポテンシャル $U(\boldsymbol{x})$ を $$\begin{equation}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=-\nabla U(\boldsymbol{x})\end{equation}$$ となるものと定義します。 $\eqref{norot}$ から、このような $U(\boldsymbol{x})$ は存在し、任意定数の不定性を除き一意です。 ポテンシャル中の位置 $\boldsymbol{x}$ に質点が置かれているとき、質点の 位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー） が $U(\boldsymbol{x})$ であるといいます（ポテンシャルとポテンシャルエネルギーは同じもののようですが、ポテンシャルがまずあって、そこに質点が置かれたというイメージから使い分けています）。
次に、質点の 運動エネルギー を $$\begin{equation}T(t)=\dfrac{m|\dot{\boldsymbol{x}}|^2}{2}\end{equation}$$ と定義します。
このとき、 力学的エネルギー $E=T+U$ の時間微分は $$\begin{align*} \dfrac{dE}{dt}&=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{|\dot{\boldsymbol{x}}|^2}{2m}+U\right)\\ &=m{\dot{\boldsymbol{x}}}\cdot\ddot{\boldsymbol{x}}-\nabla U \cdot \dot{\boldsymbol{x}}\\ &=(m\ddot{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{F})\cdot\dot{\boldsymbol{x}}\\ &=0 \end{align*}$$ となり、力学的エネルギーは時間変化しないという結果が導かれます。
